La volatilità

per il momento va bene anche iniziare col Vomma ed è evidente la difficoltà dell'argomento, ma se apri un thread specifico si potrebbe fare un minimo di conoscenza almeno delle greche di 2° livello

Calcolo della VIp con i volumi di contrattazione

Nell'intervento odierno vorrei cominciare ad affrontare il calcolo della VIp (Volatilità Implicita ponderata) con i volumi di contrattazione. Che è poi il metodo di ponderazione più diffuso. Questo dato (in realtà si tratta di due dati, uno per le call ed uno per le put) ci consentirà, successivamente, di determinare i livelli del modello Garcia.

Lungo la strada, come osserveremo, ci ostacoleranno il percorso due problemi:
- uno di pulizia dei dati: si tratta di un problema di carattere squisitamente informatico che risolveremo abbastanza in fretta;
- l'altro, che definirei di indeterminatezza, è invece un problema più sottile: si tratta di capire come associare a ciascuno strike la corretta VI quando, purtroppo, il market maker non ci viene in aiuto. Fuor di metafora intendo dire, molto semplicemente, quando quell'opzione non risulta correttamente quotata (è presente solo il bid, oppure solo l'ask o nessuno dei due).

La comunità scientifica, a questo secondo problema, non ha ancora trovato una risposta verso la quale vi sia ampio accordo. Ci ritorneremo.

La pulizia dei dati (1)

Affrontiamo il primo dei due problemi.

Riprendiamo la nostra cartella di lavoro e lanciamo la query per la lettura dei dati inerenti la chain del DJ EuStoxx50, scadenza corrente. La figura mostra il lato call di detta chain.

VI61.png

Come si osserva, molte delle colonne che sono presenti non ci occorrono ai fini del calcolo della VIp: le colonne utili sono A, F, H e O (strike, bid, ask, volumi). Faremo allora un po' di "pulizia verticale" eliminando le colonne non occorrenti.

Otteniamo:

VI62.png

Ora, per costruzione matematica, la VI ponderata con gli scambi giornalieri è insensibile a quegli strike che hanno registrato, nel corso della seduta, volumi di contrattazione pari a zero (i relativi pesi, infatti, sono nulli). Essendo così, allora, la "pulizia orizzontale" consisterà nell'eliminare quelle righe in corrispondenza delle quali la colonna "Traded Contracts" è uguale a zero.

Facciamolo ed otteniamo:

VI63.png

Ora facciamo la stessa cosa per le put ed otteniamo, alla fine:

VI64.png

La pulizia dei dati (2)

Nella cartella di lavoro la cui costruzione sto portando avanti in questa serie di interventi, ho inserito alcune routine VBA che eseguono automaticamente il lavoro descritto.

Non mi soffermo sulla spiegazione di tali routine, per non deviare dal percorso stabilito. Dirò solo che l'output di queste routine è eseguito su due fogli, che ho aggiunto alla cartella già menzionata, denominati: "VolaPondCall" e "VolaPondPut".

VI68.png

Tali routine, oltre ad effettuare il lavoro di pulizia verticale ed orizzontale come descritto, eseguono anche il calcolo:

- della volatilità implicita per ogni strike
- del peso associato a tale strike sulla base dei volumi di contrattazione
- del prodotto tra queste ultime due variabili
- della somma tra questi prodotti, ovvero della VIp.

Naturalmente, occorrendo per il calcolo della VI per ogni strike il valore del sottostante, quest'ultimo viene calcolato con la formula put-call parity. Anche in questo caso ho predisposto una routine VBA che esegue tale calcolo sullo strike più trattato del lato call della chain (che generalmente è l'ATM). Non cambia nulla se tale calcolo viene effettuato sullo strike più trattato del lato put. Chi non crede, provi pure.

Il risultato dell'esecuzione di queste routine è, per quanto concerne il lato call:

VI65.png

e, per il lato put:

VI66.png

Quale VI per quelle opzioni non quotate?

Ora che abbiamo effettuato la pulizia orizzontale e verticale dei dati scaricati dal sito web dell'Eurex, abbiamo assolto al primo dei due obiettivi che mi ero posto in questo intervento. Il lettore più attento, comunque, avrà notato che le routine non si limitano alla mera cancellazione delle righe e delle colonne che non ci necessitano. Fanno di più: eseguono, per ogni strike, il calcolo della VI, del peso legato ai volumi trattati su quello strike, del prodotto di queste due grandezze e, finalmente, della VIp vera e propria.
C'è però un ma: se si analizzano le due ultime immagini (in particolare, nel caso in questione, l'ultima) si potrà notare che in luogo della VIp compare un bel: #VALORE!
Ciò in quanto abbiamo chiesto ad excel di eseguire la somma di un determinato numero di celle delle quali, alcune, non contengono una quantità numerica.
Nel caso della VIp delle put si tratta delle celle: H2-H3-H4-H5. Perché quelle celle non contengono un numero? Essendo esse il prodotto, per righe corrispondenti, delle colonne F e G, il problema (e lo si vede dalla figura stessa) è che alcune di queste contengono il famigerato: #VALORE!
Si tratta delle celle: G2-G3-G4-G5. Sono quelle in cui viene calcolata la VI. Ed il motivo, ormai dovrebbe essere chiaro, è che le corrispondenti celle D2-D3-D4-D5 contengono anch'esse #VALORE!
Quelle celle eseguono la media tra bid ed ask. Allora il problema è che non è disponibile il bid, oppure l'ask oppure entrambi. Quando ciò succede, nella tabella che l'Eurex ci mette a disposizione, in quel campo, compare un "n.a.".
Siamo dunque arrivati a quel problema di indeterminatezza che avevo anticipato in apertura di intervento:

... l'altro, che definirei di indeterminatezza, è invece un problema più sottile: si tratta di capire come associare a quegli strike la corretta VI quando, purtroppo, il market maker non ci viene in aiuto. Fuor di metafora intendo dire, molto semplicemente, quando quell'opzione non risulta correttamente quotata (è presente solo il bid, oppure solo l'ask o nessuno dei due).

La prima risposta che è stata data a questo tipo di problema fa uso di quel metodo dell'analisi numerica che nella letteratura scientifica viene denominato interpolazione lineare. L'interpolazione lineare si pone il problema di determinare l'ordinata di un punto che si supponga appartenere ad una curva del primo ordine (ovvero una retta) nota.
Le interpolazioni non lineari, come quella parabolica, cercano di risolvere il medesimo problema con l'eccezione che la curva nota sia di ordine diverso dal primo. Per esempio, se si ipotizza una parabola, l'ordine della curva sarà il secondo.
E di che ordine è la nostra curva, quella della VI?

VI67.png

Ottima domanda. Riprenderemo da qui, la prossima volta; ma, nell'attesa, qualche idea?

Quale VI per quelle opzioni non quotate?

Ora che abbiamo effettuato la pulizia orizzontale e verticale dei dati scaricati dal sito web dell'Eurex, abbiamo assolto al primo dei due obiettivi che mi ero posto in questo intervento. Il lettore più attento, comunque, avrà notato che le routine non si limitano alla mera cancellazione delle righe e delle colonne che non ci necessitano. Fanno di più: eseguono, per ogni strike, il calcolo della VI, del peso legato ai volumi trattati su quello strike, del prodotto di queste due grandezze e, finalmente, della VIp vera e propria.
C'è però un ma: se si analizzano le due ultime immagini (in particolare, nel caso in questione, l'ultima) si potrà notare che in luogo della VIp compare un bel: #VALORE!
Ciò in quanto abbiamo chiesto ad excel di eseguire la somma di un determinato numero di celle delle quali, alcune, non contengono una quantità numerica.
Nel caso della VIp delle put si tratta delle celle: H2-H3-H4-H5. Perché quelle celle non contengono un numero? Essendo esse il prodotto, per righe corrispondenti, delle colonne F e G, il problema (e lo si vede dalla figura stessa) è che alcune di queste contengono il famigerato: #VALORE!
Si tratta delle celle: G2-G3-G4-G5. Sono quelle in cui viene calcolata la VI. Ed il motivo, ormai dovrebbe essere chiaro, è che le corrispondenti celle D2-D3-D4-D5 contengono anch'esse #VALORE!
Quelle celle eseguono la media tra bid ed ask. Allora il problema è che non è disponibile il bid, oppure l'ask oppure entrambi. Quando ciò succede, nella tabella che l'Eurex ci mette a disposizione, in quel campo, compare un "n.a.".
Siamo dunque arrivati a quel problema di indeterminatezza che avevo anticipato in apertura di intervento:

... l'altro, che definirei di indeterminatezza, è invece un problema più sottile: si tratta di capire come associare a quegli strike la corretta VI quando, purtroppo, il market maker non ci viene in aiuto. Fuor di metafora intendo dire, molto semplicemente, quando quell'opzione non risulta correttamente quotata (è presente solo il bid, oppure solo l'ask o nessuno dei due).

La prima risposta che è stata data a questo tipo di problema fa uso di quel metodo dell'analisi numerica che nella letteratura scientifica viene denominato interpolazione lineare. L'interpolazione lineare si pone il problema di determinare l'ordinata di un punto che si supponga appartenere ad una curva del primo ordine (ovvero una retta) nota.
Le interpolazioni non lineari, come quella parabolica, cercano di risolvere il medesimo problema con l'eccezione che la curva nota sia di ordine diverso da primo. Per esempio, se si ipotizza una parabola, l'ordine della curva sarà il secondo.
E di che ordine è la nostra curva, quella della VI?

VI67.png

Ottima domanda. Riprenderemo da qui, la prossima volta; ma, nell'attesa, qualche idea?

a occhio direi che si tratta di un iperbole

L'interpolazione lineare (1)

Purtroppo, maxwellreturn, la risposta non è corretta. Lodevole, comunque, il tentativo!

Ma perché non è corretta? Qui occorrerebbe tornare al mio primo intervento sulla VI e rileggere il concetto di modello. Quando tentiamo di "prevedere" l'evoluzione futura di un fenomeno reale abbiamo bisogno di un modello, un modello matematico; un'equazione, in sostanza. Ma, per quanto questa equazione ben approssimi il fenomeno reale che stiamo indagando, sarà sempre e solo un'approssimazione. E lo stesso vale per lo smile di volatilità.

Ora, qui potremmo aprire una lunga e, sicuramente, interessante discussione sulla ricerca di un modello matematico che ben approssimi la nostra curva (per chi volesse approfondire il processo di curve fitting, cominci col leggere qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting). Ma rischieremmo di fare solo accademia. Con questo non voglio certo denigrare gli accademici, ben lungi da me. Ed un trader, certamente, dovrà essere ben informato su quanto la ricerca scientifica produce in tema di nuove conoscenze (in questo caso nel campo della volatilità).

Ma poi, alla fine, se questa non trova, o non ha ancora trovato, soluzioni, allora dovrà cercare di trovarne una lui. Ricordate sempre la metafora dell'artigiano: quando uno strumento non esiste se lo costruisce!

In questo caso, allora, che si fa? Si comincia con un processo di interpolazione lineare: se i risultati sono soddisfacenti si mantengono; altrimenti si scartano e si va alla ricerca di un altro processo di curve fitting.

L'interpolazione lineare (2)

Bene, allora parliamo di interpolazione lineare. Cominciamo con la definizione.

L'interpolazione lineare è quel processo che, a partire da almeno due punti noti, A e B, ne genera di successivi (anche infiniti); i punti così generati si troveranno sulla stessa retta sulla quale si trovano i punti A e B.

Credo sia chiaro per tutti che almeno due punti sono necessari: infatti una retta passa per due punti;

VI69.png

mentre, per un punto solo ne passano infinite.

VI70.png

L'interpolazione lineare (3)

Qui, per chi non ha mai studiato la geometria analitica, o non la ricorda, devo chiedere un atto di fede su quanto scriverò a breve.

L'equazione (leggi "modello") di una retta generica è:

y = mx + q

dove m è il coefficiente angolare, ed indica l'inclinazione della retta. Il termine indicato con q, invece, si chiama intercetta. Vediamo un paio di esempi.

Una retta che non ha inclinazione, possiede un coefficiente angolare nullo, m=0 ...

VI71.png

Una retta con inclinazione positiva, ovvero crescente, possiede un coefficiente angolare m>0 ...

VI72.png

Una retta con inclinazione negativa, ovvero decrescente, possiede un coefficiente angolare m<0 ...

VI73.png

L'interpolazione lineare (4)

Per capire bene il concetto di coefficiente angolare dobbiamo pensare che questo è definito nel seguente modo:

VI76.png

si provi a leggerlo in questo modo:

m è il rapporto tra un incremento della y ed il corrispondente incremento della x.

Proviamo a tornare alla figura che è stata impiegata per esemplificare una retta con coefficiente angolare positivo. Bene, l'incremento della x, come mostra la figura stessa, è unitario. E, in corrispondenza di questo incremento, quanto vale quello della y? La figura non ce lo dice, ma possiamo provare a stimarlo ad occhio. Supponiamo che sia 0,5. In tal caso avremo, per tale retta, un coefficiente angolare:

VI77.png